1993 AMC 12 Problema 14

Question

El pentágono convexo

ABCDE

satisface

\angle A=\angle B=120^\circ,

EA=AB=BC=2

y

CD=DE=4.

¿Cuál es el área de

ABCDE

?

The convex pentagon

ABCDE

has

\angle A=\angle B=120^\circ,

EA=AB=BC=2

and

CD=DE=4.

What is the area of

ABCDE?

10

7\sqrt3

15

9\sqrt3

12\sqrt5

Respuesta: B

Conceptos:pentagon area isosceles trapezoid triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza

\overline{CE}

para dividir el pentágono en un trapecio y un triángulo

Draw

\overline{CE}

to split the pentagon into a trapezoid and a triangle

Pista grande:

Las condiciones sobre los ángulos dan

CE=4,

por lo que

\triangle CDE

es equilátero

The angle conditions give

CE=4,

so

\triangle CDE

is equilateral

Solución:

Coloca

A=(0,0)

y

B=(2,0).

Los ángulos de

120^\circ

y las longitudes

EA=BC=2

dan

E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).

Así,

ABCE

es un trapecio de altura

\sqrt3

y bases

2

y

4,

por lo que su área es

3\sqrt3.

Además,

CE=4=CD=DE,

de modo que

\triangle CDE

es equilátero y tiene área

4\sqrt3.

El área total es

7\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place

A=(0,0)

and

B=(2,0).

The

120^\circ

angles and side lengths

EA=BC=2

give

E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).

Thus

ABCE

is a trapezoid of height

\sqrt3

and bases

2

and

4,

so its area is

3\sqrt3.

Also

CE=4=CD=DE,

making

\triangle CDE

equilateral with area

4\sqrt3.

The total area is

7\sqrt3.

Thus the correct answer is B.