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1993 AMC 12 Problema 23

Intenta el Problema 23 del 1993 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1993 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Los puntos A,A, B,B, CC y DD están en un círculo de diámetro 1,1, y XX está sobre el diámetro AD‾.\overline{AD}. Si BX=CXBX=CX y 3∠BAC=∠BXC=36∘,3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ, entonces AX=AX=
Points A,A, B,B, CC and DD are on a circle of diameter 1,1, and XX is on diameter AD‾.\overline{AD}. If BX=CXBX=CX and 3∠BAC=∠BXC=36∘,3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ, then AX=AX=
cos⁡6∘cos⁡12∘sec⁡18∘\cos6^\circ\cos12^\circ\sec18^\circ
cos⁡6∘sin⁡12∘csc⁡18∘\cos6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ
cos⁡6∘sin⁡12∘sec⁡18∘\cos6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ
sin⁡6∘sin⁡12∘csc⁡18∘\sin6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ
sin⁡6∘sin⁡12∘sec⁡18∘\sin6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ
Respuesta: B
Conceptos:circle geometrybisectrizley de los senos
Nivel de dificultad: 2280
Pista pequeña:
Como BX=CX,BX=CX, el diámetro que pasa por XX biseca ∠BXC\angle BXC
Because BX=CX,BX=CX, the diameter through XX bisects ∠BXC\angle BXC
Pista grande:
Halla ABAB usando el triángulo rectángulo ABD,ABD, y luego aplica la ley de los senos en △ABX\triangle ABX
Find ABAB using right triangle ABD,ABD, then apply the Law of Sines in △ABX\triangle ABX
Solución:
Como BX=CX,BX=CX, la recta ADAD biseca ∠BXC,\angle BXC, y la simetría también da ∠BAD=6∘.\angle BAD=6^\circ. Como AD=1AD=1 es un diámetro, ∠ABD=90∘,\angle ABD=90^\circ, por lo que AB=cos⁡6∘.AB=\cos6^\circ. Además, ∠AXB=180∘−18∘=162∘,∠ABX=180∘−162∘−6∘=12∘. \begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered} La ley de los senos en △ABX\triangle ABX da AX=ABsin⁡12∘sin⁡162∘=cos⁡6∘sin⁡12∘csc⁡18∘. \begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned} Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since BX=CX,BX=CX, the line ADAD bisects ∠BXC,\angle BXC, and symmetry also gives ∠BAD=6∘.\angle BAD=6^\circ. Because AD=1AD=1 is a diameter, ∠ABD=90∘,\angle ABD=90^\circ, so AB=cos⁡6∘.AB=\cos6^\circ. Also ∠AXB=180∘−18∘=162∘,∠ABX=180∘−162∘−6∘=12∘. \begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered} The Law of Sines in △ABX\triangle ABX gives AX=ABsin⁡12∘sin⁡162∘=cos⁡6∘sin⁡12∘csc⁡18∘. \begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned} Thus the correct answer is B.

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