1993 AMC 12 Problema 7

Question

El símbolo

R_k

representa un entero cuya escritura en base diez es una sucesión de

k

unos. Por ejemplo,

R_3=111,

R_5=11111,

etc. Al dividir

R_{24}

entre

R_4,

el cociente

Q=\frac{R_{24}}{R_4}

es un entero cuya escritura en base diez contiene solamente unos y ceros. El número de ceros en

Q

es

The symbol

R_k

stands for an integer whose base-ten representation is a sequence of

k

ones. For example,

R_3=111,

R_5=11111,

etc. When

R_{24}

is divided by

R_4,

the quotient

Q=\frac{R_{24}}{R_4}

is an integer whose base-ten representation is a sequence containing only ones and zeros. The number of zeros in

Q

is

10

11

12

13

15

Usa

R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)

Use

R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)

El cociente tiene seis unos, separados de cuatro en cuatro posiciones

The quotient has six ones, each four places apart

Al agrupar los

24

dígitos en seis bloques de cuatro se obtiene

\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}

Así,

Q

tiene seis unos, con tres ceros entre cada par consecutivo. Por lo tanto, tiene

5\cdot3=15

ceros. La respuesta correcta es E.

Grouping the

24

digits into six blocks of four gives

\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}

Thus

Q

has six ones, with three zeros between each consecutive pair. It therefore has

5\cdot3=15

zeros. Thus the correct answer is E.

El Problema 7 en otros años