1993 AMC 12 Problema 16

Question

Considera la sucesión no decreciente de enteros positivos

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

en la que el

n

-ésimo entero positivo aparece

n

veces. El residuo al dividir el término número

1993

entre

5

es

Consider the non-decreasing sequence of positive integers

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

in which the

n

th positive integer appears

n

times. The remainder when the

1993

rd term is divided by

5

is

0

1

2

3

4

Respuesta: D

Conceptos:triangular numbers indexed sequence aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La última aparición de

n

ocupa la posición

\frac{n(n+1)}2

The final occurrence of

n

is in position

\frac{n(n+1)}2

Pista grande:

Compara

1993

con los números triangulares correspondientes a

62

y

63

Compare

1993

with the triangular numbers for

62

and

63

Solución:

El último

62

aparece en la posición

\frac{62\cdot63}{2}=1953,

mientras que el último

63

aparece en la posición

\frac{63\cdot64}{2}=2016.

Por consiguiente, el término número

1993

es

63,

cuyo residuo módulo

5

es

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The last

62

occurs in position

\frac{62\cdot63}{2}=1953,

while the last

63

occurs in position

\frac{63\cdot64}{2}=2016.

Thus the

1993

rd term is

63,

whose remainder modulo

5

is

3.

Thus the correct answer is D.