In English En español

1959 AMC 12 第 32 题

先试着解答 1959 AMC 12 第 32 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1959 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

从点

A

向一个圆所作切线段长

l

是半径

r

的

\dfrac43

。点

A

到该圆的最短距离为：

The length

l

of a tangent, drawn from a point

A

to a circle, is

\dfrac43

of the radius

r.

The (shortest) distance from

A

to the circle is:

\dfrac12r

r

\dfrac12l

\dfrac23l

介于

r

与

l

之间的一个值

a value between

r

and

l

答案：C

知识点：切线直角三角形圆

难度评级：1280

小提示：

连接

A

与圆心及切点

Join

A

to the center and to the point of tangency

大提示：

利用两直角边为

r

和

l=\frac{4r}{3}

的直角三角形

Use the right triangle with legs

r

and

l=\frac{4r}{3}

解答：

若

O

为圆心，

T

为切点，则

OT\perp AT

。因此

\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3} \end{aligned}\text{。}

点

A

到圆的最短距离为

AO-r=\frac{2r}{3}

。由于

l=\frac{4r}{3}

，此距离等于

\frac{l}{2}

。

因此，正确答案是 C。

If

O

is the center and

T

the point of tangency, then

OT\perp AT.

Hence

\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}

The shortest distance from

A

to the circle is

AO-r=\frac{2r}{3}.

Since

l=\frac{4r}{3},

this distance equals

\frac{l}{2}.

Therefore, the correct answer is C.