1973 AMC 12 第 32 题

Question

一个棱锥的底面是边长为

6

的等边三角形，其余各棱长均为

\sqrt{15}

。则该棱锥的体积为

The volume of a pyramid whose base is an equilateral triangle of side length

6

and whose other edges are each of length

\sqrt{15}

is

9

\dfrac92

\dfrac{27}{2}

\dfrac{9\sqrt3}{2}

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：棱锥等边三角形体积勾股定理

难度评级：2040

小提示：

从顶点作的高与底面交于等边三角形的外心

The altitude from the apex meets the base at the equilateral triangle’s circumcenter

大提示：

利用底面的外接圆半径

2\sqrt3

与侧棱

\sqrt{15}

求高

Use the base circumradius

2\sqrt3

and a lateral edge

\sqrt{15}

to find the height

解答：

底面积为

\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3\text{。}

因为顶点到三个底面顶点的距离相等，所以其垂直投影是底面的外心。等边三角形底面的外接圆半径为

\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3

。若

h

为棱锥的高，则

h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2\text{，}

所以

h=\sqrt3

。体积为

\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9\text{。}

所以正确答案是 A。

The base area is

\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.

Because the apex is equally distant from all three base vertices, its perpendicular projection is the base circumcenter. The circumradius of the equilateral base is

\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.

If

h

is the pyramid’s height, then

h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,

so

h=\sqrt3.

The volume is

\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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