1960 AMC 12 第 35 题

Question

从周长为

10

个单位的圆外一点

P

作圆的切线；又从

P

作一条割线，将圆分成长度分别为

m

和

n

的两段不等弧。已知切线长

t

是

m

与

n

的比例中项。若

m

和

t

都是整数，则

t

可能取值的个数为：

From point

P

outside a circle, with a circumference of

10

units, a tangent is drawn. Also from

P

a secant is drawn dividing the circle into unequal arcs with lengths

m

and

n.

It is found that

t,

the length of the tangent, is the mean proportional between

m

and

n.

If

m

and

t

are integers, then

t

may have the following number of values:

零个

zero

一个

one

两个

two

三个

three

无穷多个

infinitely many

答案：C

知识点：比与比例完全平方数弧

难度评级：1870

小提示：

使用

m+n=10

和

t^2=mn

Use

m+n=10

and

t^2=mn

大提示：

检验整数值

m=1,2,\ldots,9

，并排除两弧相等的情况

Test the integer values

m=1,2,\ldots,9,

excluding equal arcs

解答：

弧长满足

m+n=10

，而比例中项条件给出

t^2=mn=m(10-m)\text{。}

当

m

取从

1

到

9

的整数时，不计对称重复，可能的乘积为

9

、

16

、

21

、

24

和

25

。最后一个来自相等的两弧

m=n=5

，应排除。其余完全平方数给出

t=3

和

t=4

，共两个值。

因此，正确答案是 C。

The arc lengths satisfy

m+n=10,

while the mean-proportional condition gives

t^2=mn=m(10-m).

For integral

m

from

1

through

9,

the possible products, up to symmetry, are

9,

16,

21,

24,

and

25.

The last comes from equal arcs

m=n=5

and is excluded. The remaining squares give

t=3

and

t=4,

two values.

Thus, the correct answer is C.

1960 AMC 12 第 35 题

答案：C

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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