1963 AMC 12 Problema 16

Question

Tres números no nulos

a,

b,

c

forman una progresión aritmética. Aumentar

a

en

1

o aumentar

c

en

2

produce una progresión geométrica. Entonces

b

es igual a:

Three numbers

a,

b,

c,

none zero, form an arithmetic progression. Increasing

a

by

1

or increasing

c

by

2

results in a geometric progression. Then

b

equals:

16

14

12

10

8

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Traduce las tres condiciones de progresión en ecuaciones que contengan

b^2

y

a+c

Translate the three progression conditions into equations involving

b^2

and

a+c

Pista grande:

Compara primero

(a+1)c=b^2=a(c+2)

Compare

(a+1)c=b^2=a(c+2)

first

Solución:

Las condiciones dan

\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}

Comparando las dos últimas se obtiene

c=2a.

Así,

b=\frac{3a}{2},

y

\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).

Como

a\ne0,

resulta

a=8,

y por tanto

b=12.

Así, la respuesta correcta es C.

The conditions give

\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}

Comparing the last two yields

c=2a.

Thus

b=\frac{3a}{2},

and

\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).

Since

a\ne0,

a=8,

so

b=12.

Therefore, the correct answer is C.