1964 AMC 12 Problema 32

Question

Si

\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},

entonces:

If

\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},

then:

a

debe ser igual a

c

a

must equal

c

a+b+c+d

debe ser igual a cero

a+b+c+d

must equal zero

a=c

o

a+b+c+d=0,

o ambas

either

a=c

or

a+b+c+d=0,

or both

a+b+c+d\ne0

si

a=c

a+b+c+d\ne0

if

a=c

a(b+c+d)=c(a+b+d)

Multiplica en cruz las dos fracciones

Cross-multiply the two fractions

Pasa todos los términos a un lado y extrae el factor

a-c

Move all terms to one side and factor out

a-c

La multiplicación cruzada da

(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).

Al restar el lado derecho y factorizar se obtiene

(a-c)(a+b+c+d)=0.

Por tanto,

a=c

o la suma es cero, y ambas pueden ocurrir.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Cross-multiplication gives

(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).

Subtracting the right side and factoring yields

(a-c)(a+b+c+d)=0.

Hence either

a=c

or the sum is zero, and both may occur.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 32 en otros años