1977 AMC 12 第 29 题

Question

求最小整数

n

，使得

\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}

对所有实数

x

、

y

、

z

都成立。

Find the smallest integer

n

such that

\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}

for all real numbers

x,

y

and

z.

2

3

4

6

不存在这样的整数

n

There is no such integer

n.

对三个数

x^2

、

y^2

、

z^2

应用柯西－施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to the three numbers

x^2,

y^2,

z^2

令

x^2

、

y^2

、

z^2

取相等的非零值，以检验界是否可取到

Use equal nonzero values of

x^2,

y^2,

z^2

to test sharpness

由柯西－施瓦茨不等式，

\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4 \end{aligned}\text{。}

当

x^2=y^2=z^2\ne0

时取等号，所以更小的值都不成立。因此最小整数为

3

。

因此，正确答案是 B。

By Cauchy-Schwarz,

\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4. \end{aligned}

Equality occurs when

x^2=y^2=z^2\ne0,

so no smaller value can work. Thus the smallest integer is

3.

Therefore, the correct answer is B.

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