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1961 AMC 12 第 29 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

29.

设

ax^2+bx+c=0

的两根为

r

和

s

。以

ar+b

和

as+b

为根的方程是：

Let the roots of

ax^2+bx+c=0

be

r

and

s.

The equation with roots

ar+b

and

as+b

is:

x^2-bx-ac=0

x^2-bx+ac=0

x^2+3bx+ca+2b^2=0

x^2+3bx-ca+2b^2=0

\begin{gathered}x^2+bx(2-a)\\{}+a^2c+b^2(a+1)=0\end{gathered}

答案：B

知识点：韦达定理二次方程代数变形

难度评级：1500

小提示：

使用

r+s=-\frac{b}{a}

和

rs=\frac{c}{a}

Use

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}

大提示：

计算

ar+b

与

as+b

的和及乘积

Compute the sum and product of

ar+b

and

as+b

解答：

变换后的两根之和为

a(r+s)+2b=-b+2b=b

乘积为

\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac \end{gathered}\text{。}

因此以它们为根的首一方程为

x^2-bx+ac=0

。

所以，正确答案是 B。

The transformed roots have sum

a(r+s)+2b=-b+2b=b

and product

\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}

Therefore their monic equation is

x^2-bx+ac=0.

Thus, the correct answer is B.