1985 AMC 12 第 29 题

Question

在

10

进制表示中，整数

a

由连续

1985

个数字八组成，整数

b

由连续

1985

个数字五组成。

10

进制表示的整数

9ab

的各位数字之和是多少？

In their base

10

representations, the integer

a

consists of a sequence of

1985

eights and the integer

b

consists of a sequence of

1985

fives. What is the sum of the digits of the base

10

representation of the integer

9ab?

15880

17856

17865

17874

19851

答案：C

知识点：代数变形数字找规律位值

难度评级：2530

小提示：

将由

k

个相同数字组成的数用

R=\frac{10^k-1}{9}

表示

Write a string of

k

identical digits using

R=\frac{10^k-1}{9}

大提示：

去掉末尾的零后，将乘积表示为由

2k

个四组成的数减去由

k

个八组成的数

After removing the terminal zero, express the product as a string of

2k

fours minus a string of

k

eights

解答：

令

k=1985

，且

R=\frac{10^k-1}{9}

。则

a=8R

、

b=5R

，而

9ab

以

0

结尾。去掉这个零不改变数字和，剩下

\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1)\text{。} \end{aligned}

因此，

N

是由

2k

个四组成的数减去由

k

个八组成的数。相减后得到

k-1

个四，再接一个

3

、

k-1

个五，最后接一个

6

。其数字和为

\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865\text{。} \end{aligned}

所以正确答案是 C。

Let

k=1985

and

R=\frac{10^k-1}{9}.

Then

a=8R,

b=5R,

and

9ab

ends in

0.

Removing that zero does not change the digit sum and leaves

\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}

Thus

N

is a string of

2k

fours minus a string of

k

eights. The subtraction produces

k-1

fours, then

3,

then

k-1

fives, then

6.

Its digit sum is

\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2530

小提示：

大提示：

解答：

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