1968 AMC 12 第 29 题

Question

已知三个数

x

、

y=x^x

、

z=x^{(x^x)}

，其中

0.9\lt x\lt1.0

。按从小到大排列为：

Given the three numbers

x,

y=x^x,

z=x^{(x^x)},

with

0.9\lt x\lt1.0.

Arranged in order of increasing magnitude, they are:

x

、

z

、

y

x,

z,

y

x

、

y

、

z

x,

y,

z

y

、

x

、

z

y,

x,

z

y

、

z

、

x

y,

z,

x

z

、

x

、

y

z,

x,

y

答案：A

知识点：指数不等式

难度评级：2000

小提示：

当

0\lt x\lt1

时，可通过比较正指数来比较幂的大小

For

0\lt x\lt1,

compare powers by comparing their positive exponents

大提示：

先证明

x\lt x^x\lt1

，再比较

x^{x^x}

First show

x\lt x^x\lt1

, then compare

x^{x^x}

解答：

因为

0\lt x\lt1

且

x\lt1

，将底数

x

提到指数

x

可得

x\lt y=x^x\lt1

。当底数介于

0

与

1

之间时，指数越大，幂值越小。由于

x\lt y\lt1

，有

x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y

。所以

x\lt z\lt y

。

因此，正确答案是 A。

Since

0\lt x\lt1

and

x\lt1,

raising

x

to the exponent

x

gives

x\lt y=x^x\lt1.

For a base between

0

and

1,

a larger exponent gives a smaller value. Because

x\lt y\lt1,

we have

x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.

Thus

x\lt z\lt y.

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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