1993 AMC 12 第 29 题

Question

下列哪个集合不可能是一个长方体各表面对角线的长度集合？（表面对角线是长方体某个矩形面的对角线。）

Which of the following sets could NOT be the lengths of the external diagonals of a right rectangular prism [a “box”]? (An external diagonal is a diagonal of one of the rectangular faces of the box.)

\{4,5,6\}

\{4,5,7\}

\{4,6,7\}

\{5,6,7\}

\{5,7,8\}

答案：B

知识点：长方体 face diagonals Pythagorean inequalities

难度评级：2030

小提示：

若表面对角线满足

p\le q\le r

，用

p^2,q^2,r^2

表示棱长的平方。

If

p\le q\le r

are the face diagonals, express the edge squares in terms of

p^2,q^2,r^2

大提示：

各棱长平方为正的充要条件是

r^2\lt p^2+q^2

。

A necessary and sufficient positivity condition is

r^2\lt p^2+q^2

解答：

若棱长为

a

、

b

、

c

，则三条表面对角线长度的平方为

a^2+b^2

、

a^2+c^2

、

b^2+c^2

。对按大小排列的对角线

p\le q\le r

，有

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2}\text{，}

因此必须满足

r^2\lt p^2+q^2

；类似公式也说明这个条件充分。只有

\{4,5,7\}

不满足，因为

7^2=49\gt16+25=41

。所以正确答案是 B。

If the edge lengths are

a,

b,

c,

then the three face-diagonal squares are

a^2+b^2,

a^2+c^2,

b^2+c^2.

For sorted diagonals

p\le q\le r,

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},

so necessarily

r^2\lt p^2+q^2;

the analogous formulas show this is also sufficient. Only

\{4,5,7\}

fails, since

7^2=49\gt16+25=41.

Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题