1978 AMC 12 第 29 题

Question

将凸四边形

ABCD

的边

AB

、

BC

、

CD

、

DA

分别越过

B

、

C

、

D

、

A

延长到点

B'

、

C'

、

D'

、

A'

。已知

AB=BB'=6

、

BC=CC'=7

、

CD=DD'=8

、

DA=AA'=9

，且

ABCD

的面积为

10

。则

A'B'C'D'

的面积为

Sides

AB,

BC,

CD,

and

DA,

respectively, of convex quadrilateral

ABCD

are extended past

B,

C,

D,

and

A

to points

B',

C',

D',

and

A'.

Also,

AB=BB'=6,

BC=CC'=7,

CD=DD'=8,

and

DA=AA'=9;

and the area of

ABCD

is

10.

The area of

A'B'C'D'

is

20

40

45

50

60

答案：D

知识点：向量面积分割

难度评级：2040

小提示：

用向量表示，

A'=2A-D

、

B'=2B-A

，另外两个顶点也有类似表示

In vector notation,

A'=2A-D,

B'=2B-A,

and similarly for the other two vertices

大提示：

将这些表达式代入多边形的叉积面积公式

Substitute these expressions into the cross-product area formula for a polygon

解答：

利用位置向量，相等的延长线段给出

\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C\text{。} \end{aligned}

将这些式子代入有向多边形面积和式，可见对角的叉积项相互抵消：

\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A\text{。} \end{aligned}

因此外部四边形的面积是原四边形面积的五倍，即

5\cdot10=50

。

因此，正确答案是 D。

Using position vectors, the equal extensions give

\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}

Substitution into the oriented polygon-area sum shows that the diagonal cross terms cancel:

\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}

Hence the outer area is five times the original area, or

5\cdot10=50.

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 第 29 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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