1998 AMC 12 Problema 26

Question

En el cuadrilátero

ABCD,

se sabe que

\angle A=120^\circ,

los ángulos

B

y

D

son rectos,

AB=13,

y

AD=46.

Entonces

AC=

In quadrilateral

ABCD,

it is given that

\angle A=120^\circ,

angles

B

and

D

are right angles,

AB=13,

and

AD=46.

Then

AC=

60

62

64

65

72

Respuesta: B

Conceptos:cyclic quadrilaterals ley de los cosenos circumradius

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Los dos ángulos rectos hacen que

ABCD

sea cíclico con

AC

como diámetro

The two right angles make

ABCD

cyclic with

AC

as a diameter

Pista grande:

Halla

BD

en el triángulo

ABD

y luego usa la ley de los senos extendida

Find

BD

in triangle

ABD

, then use the extended law of sines

Solución:

Como

\angle B+\angle D=180^\circ,

el cuadrilátero es cíclico, y

AC

es su diámetro. En el triángulo

ABD,

\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}

Por la ley de los senos extendida,

AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}

=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.

Así, la respuesta correcta es B.

Because

\angle B+\angle D=180^\circ,

the quadrilateral is cyclic, and

AC

is its diameter. In triangle

ABD,

\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}

By the extended law of sines,

AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}

=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.

Thus B is correct.