1954 AMC 12 Problema 35

Question

En el triángulo rectángulo mostrado, la suma de las distancias

\overline{BM}

y

\overline{MA}

es igual a la suma de las distancias

\overline{BC}

y

\overline{CA}.

Si

\overline{MB}=x,

\overline{CB}=h,

y

\overline{CA}=d,

entonces

x

es igual a:

In the right triangle shown the sum of the distances

\overline{BM}

and

\overline{MA}

is equal to the sum of the distances

\overline{BC}

and

\overline{CA}.

If

\overline{MB}=x,

\overline{CB}=h,

and

\overline{CA}=d,

then

x

equals:

\dfrac{hd}{2h+d}

d-h

\dfrac12d

h+d-\sqrt{2d}

\sqrt{h^2+d^2}-h

Usa el teorema de Pitágoras para expresar

\overline{MA}

en términos de

d,h,x

Use the Pythagorean theorem to express

\overline{MA}

in terms of

d,h,x

A partir de

x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,

aísla el radical y eleva al cuadrado

From

x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,

isolate the radical and square

La condición y el teorema de Pitágoras dan

x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.

Después de aislar el radical y elevar al cuadrado,

d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.

Al cancelar los términos comunes queda

4hx+2dx=2hd,

por lo que

x=\frac{hd}{2h+d}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition and the Pythagorean theorem give

x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.

After isolating the radical and squaring,

d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.

Cancelling common terms leaves

4hx+2dx=2hd,

so

x=\frac{hd}{2h+d}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 35 en otros años