1960 AMC 12 Problema 32

Question

En esta figura, el centro del círculo es

O.

\overline{AB}\perp\overline{BC},

ADOE

es una recta,

\overline{AP}=\overline{AD},

y la longitud de

\overline{AB}

es el doble del radio. Entonces:

In this figure the center of the circle is

O.

\overline{AB}\perp\overline{BC},

ADOE

is a straight line,

\overline{AP}=\overline{AD},

and

\overline{AB}

has a length twice the radius. Then:

\overline{AP}^{\,2}=\overline{PB}\cdot\overline{AB}

\overline{AP}\cdot\overline{DO}=\overline{PB}\cdot\overline{AD}

\overline{AB}^{\,2}=\overline{AD}\cdot\overline{DE}

\overline{AB}\cdot\overline{AD}=\overline{OB}\cdot\overline{AO}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:recta tangente potencia de un punto círculo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea el radio

r

y expresa

AD

en función de

AO

y

r

Let the radius be

r

and write

AD

in terms of

AO

and

r

Pista grande:

Usa la relación de tangencia

AB^2=AD\cdot AE

junto con

AB=2r

Use the tangent relation

AB^2=AD\cdot AE

together with

AB=2r

Solución:

Sea el radio

r.

Como

AB

es tangente en

B,

AB^2=AD\cdot AE.

Escribe

AD=t.

Como la secante pasa por el centro,

AE=t+2r,

mientras que

AB=2r.

Por tanto,

t(t+2r)=4r^2.

Además,

AP=AD=t

y

PB=AB-AP=2r-t.

La ecuación mostrada se reordena como

t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.

Por lo tanto,

AP^2=PB\cdot AB.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the radius be

r.

Since

AB

is tangent at

B,

AB^2=AD\cdot AE.

Write

AD=t.

Because the secant passes through the center,

AE=t+2r,

while

AB=2r.

Hence

t(t+2r)=4r^2.

Also

AP=AD=t

and

PB=AB-AP=2r-t.

The displayed equation rearranges to

t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.

Therefore

AP^2=PB\cdot AB.

Thus, the correct answer is A.