1965 AMC 12 Problema 31

Question

El número de valores reales de

x

que satisfacen la igualdad

(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,

donde

a

y

b

son constantes positivas distintas de

1,

es:

The number of real values of

x

satisfying the equality

(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,

where

a

and

b

are positive constants different from

1,

is:

0

1

2

un entero mayor que

2

an integer greater than

2

no finito

not finite

Escribe cada logaritmo con logaritmos naturales

Write every logarithm with natural logs

La ecuación se reduce a

(\ln x)^2=(\ln b)^2

The equation reduces to

(\ln x)^2=(\ln b)^2

El cambio de base da

\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.

Como los denominadores no son cero,

(\ln x)^2=(\ln b)^2.

Así,

x=b

o

x=\frac{1}{b}.

Estos valores son distintos porque

b\ne1,

por lo que hay dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Change of base gives

\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.

Since the denominators are nonzero,

(\ln x)^2=(\ln b)^2.

Thus

x=b

or

x=\frac{1}{b}.

These are distinct because

b\ne1,

so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 31 en otros años