1957 AMC 12 Problema 31

Question

Se forma un octágono regular cortando triángulos rectángulos isósceles congruentes de las esquinas de un cuadrado. Si el cuadrado tiene lados de una unidad, la longitud de cada cateto de esos triángulos es:

A regular octagon is to be formed by cutting equal isosceles right triangles from the corners of a square. If the square has sides of one unit, the leg of each of the triangles has length:

\dfrac{2+\sqrt2}{3}

\dfrac{2-\sqrt2}{2}

\dfrac{1+\sqrt2}{2}

\dfrac{1+\sqrt2}{3}

\dfrac{2-\sqrt2}{3}

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular triángulo rectángulo especial radical

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Si cada cateto recortado mide

x,

un lado horizontal no recortado del octágono mide

1-2x

If each cut-off leg is

x,

an uncut horizontal octagon side has length

1-2x

Pista grande:

Un lado inclinado del octágono es la hipotenusa

x\sqrt2

, y la regularidad obliga a que estas longitudes sean iguales

A slanted octagon side is the hypotenuse

x\sqrt2

, and regularity makes these equal

Solución:

Sea

x

un cateto de cada triángulo de las esquinas. Los lados horizontales y verticales del octágono miden

1-2x,

mientras que los cuatro lados inclinados miden

x\sqrt2.

Así,

1-2x=x\sqrt2,

por lo que

x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

x

be a leg of each corner triangle. The horizontal and vertical octagon sides have length

1-2x,

while the four slanted sides have length

x\sqrt2.

Thus

1-2x=x\sqrt2,

so

x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is B.