1965 AMC 12 Problema 35

Question

Un rectángulo mide

5

pulgadas de largo y menos de

4

pulgadas de ancho. Se dobla de modo que dos vértices opuestos coincidan. Si la longitud del pliegue es

\sqrt6,

entonces el ancho es:

The length of a rectangle is

5

inches and its width is less than

4

inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is

\sqrt6,

then the width is:

\sqrt2

\sqrt3

2

\sqrt5

\sqrt{\frac{11}{2}}

Respuesta: D

Conceptos:plegado de papel mediatriz geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz de una diagonal del rectángulo

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

Pista grande:

Si el ancho es

w\lt4,

sus intersecciones con los lados largos difieren horizontalmente en

\frac{w^2}{5}

If the width is

w\lt4,

its intersections with the long sides differ horizontally by

\frac{w^2}{5}

Solución:

Coloca el rectángulo en

(0,0),

(5,0),

(5,w),

y

(0,w).

El pliegue que lleva

(0,0)

a

(5,w)

es

5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.

Como

w\lt4,

corta los dos lados horizontales. Entre esas intersecciones, el cambio vertical es

w

y el horizontal es

\frac{w^2}{5}.

Así,

6=w^2+\frac{w^4}{25}.

Tomando

z=w^2

se obtiene

z^2+25z-150=0,

de modo que

z=5

y

w=\sqrt5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle at

(0,0),

(5,0),

(5,w),

and

(0,w).

The crease sending

(0,0)

to

(5,w)

is

5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.

Because

w\lt4,

it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is

w

and the horizontal change is

\frac{w^2}{5}.

Thus

6=w^2+\frac{w^4}{25}.

Setting

z=w^2

gives

z^2+25z-150=0,

so

z=5

and

w=\sqrt5.

Therefore, the correct answer is D.