1951 AMC 12 第 26 题

Question

在方程

\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m}

中，当下列哪一条件成立时，两根相等？

In the equation

\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},

the roots are equal when:

m=1

m=\dfrac12

m=0

m=-1

m=-\dfrac12

消去分母，并将所得方程整理成关于

x

的二次方程

Clear denominators and collect the resulting quadratic in

x

方程化为

x^2-x-m(m+1)=0

；两根相等要求判别式为零

The equation reduces to

x^2-x-m(m+1)=0

; equal roots require zero discriminant

消去分母并化简，得到

x^2-x-m(m+1)=0\text{。}

两根相等要求

\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0 \end{aligned}\text{，}

因此

m=-\frac12

。该值不会使原方程的分母为零。

因此，正确答案是 E。

Clearing denominators and simplifying yields

x^2-x-m(m+1)=0.

Equal roots require

\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}

hence

m=-\frac12.

This value does not violate the original denominators.

Thus, the correct answer is E.

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