1951 AMC 12 Problema 26

Question

En la ecuación

\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},

las raíces son iguales cuando:

In the equation

\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},

the roots are equal when:

m=1

m=\dfrac12

m=0

m=-1

m=-\dfrac12

Elimina los denominadores y ordena la ecuación cuadrática resultante en

x

Clear denominators and collect the resulting quadratic in

x

La ecuación se reduce a

x^2-x-m(m+1)=0

; para que las raíces sean iguales, el discriminante debe ser cero

The equation reduces to

x^2-x-m(m+1)=0

; equal roots require zero discriminant

Al eliminar los denominadores y simplificar se obtiene

x^2-x-m(m+1)=0.

Para que las raíces sean iguales se requiere

\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}

de donde

m=-\frac12.

Este valor no anula ninguno de los denominadores originales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Clearing denominators and simplifying yields

x^2-x-m(m+1)=0.

Equal roots require

\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}

hence

m=-\frac12.

This value does not violate the original denominators.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 26 en otros años