1958 AMC 12 第 23 题

Question

在表达式

x^2-3

中，若

x

增加或减少一个正数

a

，则表达式的变化量为：

If, in the expression

x^2-3,

x

increases or decreases by a positive amount

a,

the expression changes by an amount:

\pm2ax+a^2

2ax\pm a^2

\pm a^2-3

(x+a)^2-3

(x-a)^2-3

对

f(x)=x^2-3

，计算

f(x+a)-f(x)

和

f(x-a)-f(x)

Compute

f(x+a)-f(x)

and

f(x-a)-f(x)

for

f(x)=x^2-3

两个差式中的常数项都会相消

The constant term cancels in both differences

增加时，

\begin{aligned} &(x+a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=2ax+a^2 \end{aligned}\text{。}

减少时，

\begin{aligned} &(x-a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=-2ax+a^2 \end{aligned}\text{。}

因而这两种变化量合写为

\pm2ax+a^2

。

所以正确答案为 A。

For an increase,

\begin{aligned} &(x+a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=2ax+a^2. \end{aligned}

For a decrease,

\begin{aligned} &(x-a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=-2ax+a^2. \end{aligned}

Together these changes are

\pm2ax+a^2.

Thus, the correct answer is A.

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