1969 AMC 12 第 23 题

Question

对任意大于

1

的整数

n

，大于

n!+1

且小于

n!+n

的质数个数为：

这里

n!=1\cdot2\cdots(n-1)n

。

For any integer

n

greater than

1,

the number of prime numbers greater than

n!+1

and less than

n!+n

is:

Here

n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.

0

1

当

n

为偶数时是

\dfrac n2

，当

n

为奇数时是

\dfrac{n+1}{2}

\dfrac n2

for

n

even,

\dfrac{n+1}{2}

for

n

odd

n-1

n

答案：A

知识点：阶乘整除性质数

难度评级：1780

小提示：

严格位于两个端点之间的每个整数都可写成

n!+k

，其中

2\le k\le n-1

Every integer strictly between the endpoints has the form

n!+k

with

2\le k\le n-1

大提示：

利用

k

同时整除

n!

和

n!+k

Use the fact that

k

divides both

n!

and

n!+k

解答：

区间中的每个整数都可写成

n!+k

，其中

2\le k\le n-1

。因为

n!

是

k

的倍数，所以

n!+k

也是它的倍数，并且

n!+k\gt k

。因此每个这样的整数都是合数。（当

n=2

时，该区间为空。）所以区间中没有质数。

所以正确答案是 A。

Every integer in the interval has the form

n!+k

for some

2\le k\le n-1.

Because

n!

is divisible by

k,

so is

n!+k,

and

n!+k\gt k.

Thus every such integer is composite. (For

n=2,

the interval is empty.) Hence there are no primes in the interval.

Therefore, the correct answer is A.

1969 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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