In English En español

1970 AMC 12 第 23 题

先试着解答 1970 AMC 12 第 23 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1970 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

数

10!

（这里的

10

用

10

进制表示）写成

12

进制时，末尾恰有

k

个零。

k

的值为：

The number

10!

(

10

is written in base

10

), when written in the base

12

system, ends in exactly

k

zeros. The value of

k

is:

1

2

3

4

5

答案：D

知识点：进制末尾零质因数分解阶乘

难度评级：1830

小提示：

一个

12

进制末尾零对应一个因子

12=2^2\cdot3

A trailing base-

12

zero contributes one factor of

12=2^2\cdot3

大提示：

比较

10!

中质因数

2

和

3

的指数

Compare the exponents of

2

and

3

in

10!

解答：

10!

中各质因数的指数为

\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4 \end{gathered}\text{。}

每个因子

12=2^2\cdot3

需要两个因数

2

和一个因数

3

。因此

12

进制表示的末尾零个数为

\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4\text{。}

因此，正确答案是 D。

The prime exponents in

10!

are

\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}

Each factor of

12=2^2\cdot3

uses two factors of

2

and one of

3.

Hence the number of trailing base-

12

zeros is

\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.

Therefore, the correct answer is D.

其他年份的第 23 题