1975 AMC 12 第 23 题

Question

如图，

AB

和

BC

是正方形

ABCD

的相邻两边；

M

是

AB

的中点；

N

是

BC

的中点；

AN

与

CM

交于

O

。四边形

AOCD

与正方形

ABCD

的面积之比为

In the adjoining figure

AB

and

BC

are adjacent sides of square

ABCD;

M

is the midpoint of

AB;

N

is the midpoint of

BC;

and

AN

and

CM

intersect at

O.

The ratio of the area of

AOCD

to the area of

ABCD

is

\frac56

\frac34

\frac23

\frac{\sqrt3}{2}

\frac{\sqrt3-1}{2}

答案：C

知识点：重心正方形（几何）面积分割

难度评级：1670

小提示：

在三角形

ABC

中，

AN

和

CM

都是中线

In triangle

ABC,

both

AN

and

CM

are medians

大提示：

为正方形建立坐标系，并求出重心

O

的坐标

Use coordinates for the square and locate the centroid

O

解答：

取

A=(0,0),B=(1,0)

、

C=(1,1),D=(0,1)

。因为

O

是三角形

ABC

的重心，所以

O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3})

。三角形

AOB

和

COB

的面积都为

\frac{1}{6}

。从单位正方形中去掉这两个三角形，得到

[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23\text{。}

因此，正确答案是 C。

Take

A=(0,0),B=(1,0),

C=(1,1),D=(0,1).

Since

O

is the centroid of triangle

ABC,

O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).

Triangles

AOB

and

COB

each have area

\frac{1}{6}.

Removing them from the unit square leaves

[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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