1985 AMC 12 第 23 题

Question

若

\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}\text{，} \end{aligned}

其中

i^2=-1

，则以下哪一项不正确？

If

\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned}

where

i^2=-1,

then which of the following is not correct?

x^5+y^5=-1

x^7+y^7=-1

x^9+y^9=-1

x^{11}+y^{11}=-1

x^{13}+y^{13}=-1

答案：C

知识点：复数模运算单位根

难度评级：2130

小提示：

识别出

x

和

y

是两个非实的三次单位根

Recognize

x

and

y

as the two nonreal cube roots of unity

大提示：

它们的幂只取决于指数模

3

的余数

Their powers depend only on the exponent modulo

3

解答：

这两个数是两个非实的三次单位根，所以

x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)\text{。}

该式等于

-1

（当

n

不是

3

的倍数时），但等于

2

（当

n

是

3

的倍数时）。所列指数中只有

9

能被

3

整除，所以对应的等式是不正确的一项。

因此正确答案是 C。

The numbers are the two nonreal cube roots of unity, so

x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right).

This equals

-1

when

n

is not divisible by

3,

but equals

2

when

n

is divisible by

3.

Of the listed exponents, only

9

is divisible by

3,

so its displayed equation is the one that is not correct.

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

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