1982 AMC 12 第 23 题

Question

一个三角形的三边长为连续整数，且最大角是最小角的两倍。最小角的余弦值为

The lengths of the sides of a triangle are consecutive integers, and the largest angle is twice the smallest angle. The cosine of the smallest angle is

\frac34

\frac7{10}

\frac23

\frac9{14}

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：正弦定理余弦定理三角恒等式

难度评级：2150

小提示：

设最小角与最大角分别为

\theta

和

2\theta

Let the smallest and largest angles be

\theta

and

2\theta

大提示：

用正弦定理比较最短边与最长边

Use the law of sines to compare the shortest and longest consecutive sides

解答：

设连续的三边长为

n

、

n+1

、

n+2

，其对角分别为

\theta

、

\phi

、

2\theta

。由正弦定理，

\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta\text{。}

对最小角使用余弦定理还可得

\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}\text{。}

令两式相等，得到

n^2-3n-4=0

，所以

n=4

。因此三边长为

4

、

5

、

6

，且

\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}

。

因此，正确答案为 A。

Let the consecutive sides be

n,

n+1,

n+2,

opposite angles

\theta,

\phi,

2\theta.

By the law of sines,

\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.

The law of cosines at the smallest angle also gives

\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.

Equating these expressions yields

n^2-3n-4=0,

so

n=4.

Hence the sides are

4,

5,

6

and

\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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