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1984 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}

等于

\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}

equals

\tan10^\circ+\tan20^\circ

\tan30^\circ

\frac12(\tan10^\circ+\tan20^\circ)

\tan15^\circ

\frac14\tan60^\circ

答案：D

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：2130

小提示：

对分子和分母都使用和差化积公式

Apply the sum-to-product identities to both numerator and denominator

大提示：

变换后的两个和式都含有相同的因子

\cos5^\circ

Both transformed sums contain the same

\cos5^\circ

factor

解答：

设

R

表示所给比值。由和差化积公式，

\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

R

denote the given ratio. By the sum-to-product identities,

\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

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