1995 AMC 12 第 23 题

Question

一个三角形的三边长为

11

、

15

、

k

，其中

k

是整数。有多少个

k

值能使该三角形为钝角三角形？

The sides of a triangle have lengths

11,

15,

and

k,

where

k

is an integer. For how many values of

k

is the triangle obtuse?

5

7

12

13

14

答案：D

知识点：三角不等式 obtuse triangles

难度评级：2060

小提示：

先用三角形不等式确定整数

k

的范围

First use the triangle inequality to bound the integer

k

大提示：

分别在

15

为最长边和

k

为最长边时检验钝角条件

Test the obtuse inequality separately when

15

is longest and when

k

is longest

解答：

由三角形不等式得

5\le k\le25

。当

k\le15

时，最长边为

15

，三角形为钝角三角形的条件是

15^2\gt11^2+k^2\text{，}

从而

5\le k\le10

，共有

6

个值。当

k\gt15

时，钝角条件为

k^2\gt11^2+15^2=346

，得到

19\le k\le25

，共有

7

个值。总数为

6+7=13

，所以正确答案是 D。

The triangle inequality gives

5\le k\le25.

For

k\le15,

the longest side is

15,

and the triangle is obtuse when

15^2\gt11^2+k^2,

which gives

5\le k\le10,

or

6

values. For

k\gt15,

it is obtuse when

k^2\gt11^2+15^2=346,

giving

19\le k\le25,

or

7

values. The total is

6+7=13,

so the correct answer is D.

1995 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

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