1960 AMC 12 第 23 题

Question

一个圆柱形盒子的半径

R

为

8

英寸，高

H

为

3

英寸。体积为

V=\pi R^2H

。将

R

增加

x

英寸与将

H

增加

x

英寸时，体积要增加同一个固定的正数。满足这一条件的是：

The radius

R

of a cylindrical box is

8

inches, the height

H

is

3

inches. The volume

V=\pi R^2H

is to be increased by the same fixed positive amount when

R

is increased by

x

inches as when

H

is increased by

x

inches. This condition is satisfied by:

x

没有实数取值

no real value of

x

x

有一个整数取值

one integral value of

x

x

有一个有理数但非整数的取值

one rational, but not integral, value of

x

x

有一个无理数取值

one irrational value of

x

x

有两个实数取值

two real values of

x

答案：C

知识点：圆柱体积二次方程

难度评级：1500

小提示：

分别用半径

8+x

和高度

3+x

写出体积的增加量

Write the volume increase once with radius

8+x

and once with height

3+x

大提示：

令两个增加量相等，并舍去非正数解

Equate the increases and discard the nonpositive solution

解答：

增加半径时，体积增加

3\pi\big((8+x)^2-8^2\big)\text{，}

而增加高度时，体积增加

64\pi x

。令两者相等，得

48x+3x^2=64x\text{，}

所以

x=0

或

x=\frac{16}{3}

。增加量必须为正，因此只剩一个有理数但非整数的取值。

因此，正确答案是 C。

Increasing the radius changes the volume by

3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),

while increasing the height changes it by

64\pi x.

Equating these gives

48x+3x^2=64x,

so

x=0

or

x=\frac{16}{3}.

The increase must be positive, leaving one rational but nonintegral value.

Thus, the correct answer is C.

1960 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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