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1959 AMC 12 第 28 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

28.

在三角形

ABC

中，

\overline{AL}

平分角

A

，

\overline{CM}

平分角

C

。点

L

和

M

分别位于

\overline{BC}

和

\overline{AB}

上。三角形

ABC

的三边为

a

、

b

和

c

。若

\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB}

，则

k

为：

In triangle

ABC,

\overline{AL}

bisects angle

A

and

\overline{CM}

bisects angle

C.

Points

L

and

M

are on

\overline{BC}

and

\overline{AB},

respectively. The sides of triangle

ABC

are

a,

b,

and

c.

Then

\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},

where

k

is:

1

\dfrac{bc}{a^2}

\dfrac{a^2}{bc}

\dfrac cb

\dfrac ca

答案：E

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1300

小提示：

分别对

CM

和

AL

应用角平分线定理

Apply the angle bisector theorem separately to

CM

and

AL

大提示：

使用标准记号

a=BC,\ b=CA,\ c=AB

Use the standard notation

a=BC,\ b=CA,\ c=AB

解答：

由角平分线定理，

\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc \end{aligned}\text{。}

因此

k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca\text{。}

因此，正确答案是 E。

By the angle bisector theorem,

\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}

Therefore

k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.

Thus, the correct answer is E.