1993 AMC 12 第 28 题
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28.
在 平面内，坐标为整数 且满足 、 的点作为顶点，可以组成多少个面积为正的三角形？
How many triangles with positive area are there whose vertices are points in the -plane whose coordinates are integers satisfying and
答案：D
小提示：
从全部 个三点组开始，减去三点共线的情形。
Start with all triples and subtract collinear ones
大提示：
三个格点共线时，只可能位于水平线、竖直线或斜率为 的对角线上。
Three collinear grid points can occur only horizontally, vertically, or on a slope- diagonal
解答：
共有 个格点三元组。四行和四列贡献了 个共线三元组。对斜率 ，能容纳三个点的对角线长度依次为 、、，贡献 个；斜率 再贡献 个。在一个 乘 的点阵中，其他斜率都不能容纳三个格点。因此面积为正的三角形数为 。故正确答案是 D。
There are triples of grid points. The four rows and four columns contribute collinear triples. For slope the diagonal lengths capable of containing three points are contributing slope contributes another No other slope fits three lattice points inside a -by- point array. Thus the number of positive-area triangles is Thus the correct answer is D.
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