1973 AMC 12 第 28 题

Question

若

a

、

b

、

c

成等比数列，满足

1\lt a\lt b\lt c

，且

n\gt1

为整数，则

\log_a n

、

\log_b n

、

\log_c n

组成一个数列，

If

a,

b,

and

c

are in geometric progression (G.P.) with

1\lt a\lt b\lt c

and

n\gt1

is an integer, then

\log_a n,

\log_b n,

\log_c n

form a sequence

该数列为等比数列

which is a G.P.

该数列为等差数列

which is an arithmetic progression (A.P.)

该数列各项的倒数组成等差数列

in which the reciprocals of the terms form an A.P.

该数列的第二项与第三项分别是第一项与第二项的

n

次幂

in which the second and third terms are the

n

th powers of the first and second respectively

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：对数等比数列等差数列

难度评级：2060

小提示：

取倒数，并利用

\dfrac1{\log_a n}=\log_n a

Take reciprocals and use

\dfrac1{\log_a n}=\log_n a

大提示：

对等比数列关系

b^2=ac

取对数

Apply logarithms to the geometric-progression relation

b^2=ac

解答：

由换底公式，

\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c \end{aligned}\text{。}

因为

a

、

b

、

c

成等比数列，所以

b^2=ac

。两边取以

n

为底的对数，得到

2\log_n b=\log_n a+\log_n c\text{。}

因此所给三项的倒数组成等差数列。

所以正确答案是 C。

By change of base,

\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}

Since

a,

b,

c

are in geometric progression,

b^2=ac.

Taking logarithms to base

n

gives

2\log_n b=\log_n a+\log_n c.

Hence the reciprocals of the three given terms form an arithmetic progression.

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

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