1970 AMC 12 第 28 题

Question

在三角形

ABC

中，从顶点

A

出发的中线垂直于从顶点

B

出发的中线。若边

AC

和

BC

的长度分别为

6

和

7

，则边

AB

的长度为：

In triangle

ABC,

the median from vertex

A

is perpendicular to the median from vertex

B.

If the lengths of sides

AC

and

BC

are

6

and

7,

respectively, then the length of side

AB

is:

\sqrt{17}

4

4\tfrac12

2\sqrt5

4\tfrac14

答案：A

知识点：重心中线（几何）向量勾股定理

难度评级：2300

小提示：

将重心置于原点，并设

A,B

的位置向量为互相垂直的向量

u,v

Place the centroid at the origin and let the position vectors of

A,B

be perpendicular vectors

u,v

大提示：

则

C=-u-v

，所以

AC^2=|2u+v|^2

，且

BC^2=|u+2v|^2

Then

C=-u-v,

so

AC^2=|2u+v|^2

and

BC^2=|u+2v|^2

解答：

将重心置于原点。设

A

和

B

的位置向量分别为

u

和

v

。两条中线分别沿

u

和

v

的方向，所以

u\cdot v=0

。由重心条件还可得

C=-u-v

。

设

U=|u|^2

，且

V=|v|^2

。则

AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36

以及

\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49 \end{aligned}\text{。}

将两个方程取适当倍数后相加，得到

U+V=17

。最后，

AB^2=|u-v|^2=U+V=17\text{，}

所以

AB=\sqrt{17}

。

因此，正确答案是 A。

Place the centroid at the origin. Let the position vectors of

A

and

B

be

u

and

v.

The two medians lie along

u

and

v,

so

u\cdot v=0.

Also the centroid condition gives

C=-u-v.

Let

U=|u|^2

and

V=|v|^2.

Then

AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36

and

\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}

Adding appropriate multiples gives

U+V=17.

Finally,

AB^2=|u-v|^2=U+V=17,

so

AB=\sqrt{17}.

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 第 28 题

答案：A

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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