1981 AMC 12 第 28 题

Question

考虑所有形如

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0

的方程，其中

a_2

、

a_1

、

a_0

都是实常数，并且

|a_i|\le2

，其中

i=0

、

1

、

2

。令

r

为至少满足其中一个方程的最大正实数。则

Consider the set of all equations

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

where

a_2,

a_1,

a_0

are real constants and

|a_i|\le2

for

i=0,

1,

2.

Let

r

be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

1\le r\lt\frac32

\frac32\le r\lt2

2\le r\lt\frac52

\frac52\le r\lt3

3\le r\lt\frac72

答案：D

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

小提示：

对于正数

x

，要把根尽量向右推，各系数应取到其下界

For positive

x,

the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

大提示：

用两个相邻选项的端点夹住

x^3-2x^2-2x-2

的最大根

Bracket the largest root of

x^3-2x^2-2x-2

at two consecutive choice endpoints

解答：

将一个允许的多项式记为

g

。当

x\ge0

时，

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x) \end{aligned}\text{，}

其中

f(x)=x^3-2x^2-2x-2

。因此，任何正根都不会超过最大根

\rho

（即

f

的最大根）。取

a_2=a_1=a_0=-2

时

g=f

，所以

\rho

本身可以取到。由于

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0 \end{gathered}\text{，}

可得

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3

。

所以正确答案是 D。

Write an allowed polynomial as

g.

For

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

where

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Thus no positive root can exceed the largest root

\rho

of

f.

Taking

a_2=a_1=a_0=-2

gives

g=f,

so

\rho

itself is attained. Since

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

we have

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

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