1986 AMC 12 第 28 题

Question

ABCDE

是正五边形。

AP

、

AQ

和

AR

分别是从

A

点向

CD

、

CB

的延长线和

DE

的延长线所作的垂线。设

O

为该五边形的中心。若

OP=1

，则

AO+AQ+AR

等于

ABCDE

is a regular pentagon.

AP,

AQ

and

AR

are the perpendiculars dropped from

A

onto

CD,

CB

extended and

DE

extended, respectively. Let

O

be the center of the pentagon. If

OP=1,

then

AO+AQ+AR

equals

3

1+\sqrt5

4

2+\sqrt5

5

答案：C

知识点：regular pentagon 面积分割高线

难度评级：2320

小提示：

设边长为

s

，利用以中心为顶点的五个三角形计算五边形的面积

Let

s

be the side length and compute the pentagon’s area from its five central triangles

大提示：

也可将五边形分成三角形

ABC

、

ACD

和

ADE

，其高分别为

AQ,AP,AR

Also split the pentagon into triangles

ABC,

ACD

and

ADE

with altitudes

AQ,AP,AR

解答：

设边长为

s

。由于边心距

OP=1

，由以中心为顶点的五个三角形可得五边形的面积为

\frac{5s}{2}

。同一个五边形也是三角形

ABC

、

ACD

和

ADE

的并，这三个三角形以五边形边长为底时的高分别为

AQ,AP,AR

。因此

\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2}\text{，}

所以

AQ+AP+AR=5

。此外，

AP=AO+OP=AO+1

。因此

AO+AQ+AR=4

。

因此正确答案是 C。

Let the side length be

s.

Since the apothem

OP=1,

the five central triangles give pentagon area

\frac{5s}{2}.

The same pentagon is the union of triangles

ABC,

ACD

and

ADE,

whose respective altitudes to side-length bases are

AQ,AP,AR.

Hence

\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},

so

AQ+AP+AR=5.

Also

AP=AO+OP=AO+1.

Therefore

AO+AQ+AR=4.

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

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