1988 AMC 12 第 28 题

Question

一枚不均匀硬币在一次投掷中正面朝上的概率为

p

。设

w

为独立投掷这枚硬币

5

次时恰好出现

3

次正面的概率。若

w=\frac{144}{625}

，则

An unfair coin has probability

p

of coming up heads on a single toss. Let

w

be the probability that, in

5

independent tosses of this coin, heads come up exactly

3

times. If

w=\frac{144}{625},

then

p

必须为

\frac{2}{5}

p

must be

\frac{2}{5}

p

必须为

\frac{3}{5}

p

must be

\frac{3}{5}

p

必须大于

\frac{3}{5}

p

must be greater than

\frac{3}{5}

p

不能唯一确定

p

is not uniquely determined

不存在任何

p

，使

w=\frac{144}{625}

成立

there is no value of

p

for which

w=\frac{144}{625}

答案：D

知识点：二项概率 continuity nonunique solutions

难度评级：2360

小提示：

利用二项式系数将

w

写成

p

的函数

Write

w

as a function of

p

using the binomial coefficient

大提示：

先检验一个简单的值，再比较该函数在

p=\frac{3}{5}

和

p=1

时的值

Check one simple value, then compare the function at

p=\frac{3}{5}

and

p=1

解答：

这里

w(p)=10p^3(1-p)^2

。当

p=\frac{2}{5}

时，

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}\text{。}

此外，

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625}

，而

w(1)=0

。由连续性可知，在

\frac{3}{5}

与

1

之间还有另一个解。因此

p

不能唯一确定。

因此，正确答案是 D。

Here

w(p)=10p^3(1-p)^2.

At

p=\frac{2}{5},

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.

Also

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},

while

w(1)=0.

By continuity there is another solution between

\frac{3}{5}

and

1.

Hence

p

is not unique.

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

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