1960 AMC 12 第 9 题

Question

分式

\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac}

在

a

、

b

和

c

的取值满足适当限制时：

The fraction

\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac}

is (with suitable restrictions on the values of

a,

b,

and

c

):

不能约简

irreducible

可约简为

-1

reducible to

-1

可约简为一个三项式

reducible to a polynomial of three terms

可约简为

\dfrac{a-b+c}{a+b-c}

reducible to

\dfrac{a-b+c}{a+b-c}

可约简为

\dfrac{a+b-c}{a-b+c}

reducible to

\dfrac{a+b-c}{a-b+c}

将每个二次式改写为平方差

Rewrite each quadratic expression as a difference of squares

分子和分母有公因式

a+b+c

The numerator and denominator share a factor

a+b+c

因式分解得

\begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c) \end{gathered}\text{。}

在题述的适当限制下约去公因式，得到

\frac{a+b-c}{a-b+c}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Factoring gives

\begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c). \end{gathered}

Cancelling the common factor, under the stated suitable restrictions, leaves

\frac{a+b-c}{a-b+c}.

Thus, the correct answer is E.

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