1982 AMC 12 第 9 题

Question

在

xy

平面中，一条竖直直线将顶点为

(0,0)

、

(1,1)

和

(9,1)

的三角形分成面积相等的两个区域。这条直线的方程为

x=

A vertical line divides the triangle with vertices

(0,0),

(1,1)

and

(9,1)

in the

xy

-plane into two regions of equal area. The equation of the line is

x=

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

答案：B

知识点：坐标几何面积微积分

难度评级：1630

小提示：

当

1\le x\le9

时，三角形位于

y=\frac{x}{9}

与

y=1

之间

For

1\le x\le9,

the triangle lies between

y=\frac{x}{9}

and

y=1

大提示：

令累计面积等于三角形总面积的一半

Set the accumulated area to one half of the triangle’s total area

解答：

三角形的面积为

4

。当

0\le x\le1

时，该部分面积为

\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49\text{。}

对于截线

x=t\ge1

，其左侧面积为

\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx

。令其等于

2

，得到

t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2}

，相关的解为

t=3

。

所以正确答案是 B。

The triangle has area

4.

The portion with

0\le x\le1

has area

\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.

For a cut

x=t\ge1,

the area to its left is therefore

\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.

Setting this equal to

2

gives

t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},

whose relevant solution is

t=3.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 9 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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