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1986 AMC 12 第 9 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

9.

乘积

\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}

等于

The product

\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}

equals

\frac5{12}

\frac12

\frac{11}{20}

\frac23

\frac7{10}

答案：C

知识点：telescoping product 平方差

难度评级：1470

小提示：

将

1-\frac{1}{n^2}

按平方差分解

Factor

1-\frac{1}{n^2}

as a difference of squares

大提示：

把乘积分成

\frac{n-1}{n}

和

\frac{n+1}{n}

两类因子

Separate the product into factors

\frac{n-1}{n}

and

\frac{n+1}{n}

解答：

对每个

n

，

1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\text{。}

因此乘积发生连锁消去：

\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}\text{。} \end{aligned}

所以正确答案是 C。

For each

n,

1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.

Therefore the product telescopes:

\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}

Thus the correct answer is C.

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