1963 AMC 12 第 32 题

Question

矩形

R

的边长为

a

和

b

，其中

a\lt b

。现要得到一个边长为

x

和

y

的矩形，其中

x\lt a

、

y\lt a

，使它的周长是

R

的三分之一，面积也是

R

的三分之一。这样的不同矩形共有：

The dimensions of a rectangle

R

are

a

and

b,

a\lt b.

It is required to obtain a rectangle with dimensions

x

and

y,

x\lt a,

y\lt a,

so that its perimeter is one-third that of

R,

and its area is one-third that of

R.

The number of such (different) rectangles is:

0

1

2

4

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：矩形不等式代数变形

难度评级：1990

小提示：

把条件写成

3(x+y)=a+b

和

3xy=ab

Translate the conditions into

3(x+y)=a+b

and

3xy=ab

大提示：

用和式除以积式，再利用

x\lt a

、

y\lt a

和

a\lt b

比较倒数

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using

x\lt a,

y\lt a,

and

a\lt b

解答：

这些条件给出

3(x+y)=a+b

和

3xy=ab

。相除得到

\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b\text{。}

但是

x\lt a

且

y\lt a

使左边大于

\frac{2}{a}

，而

a\lt b

使右边小于

\frac{2}{a}

。这不可能成立。

所以正确答案是 A。

The conditions give

3(x+y)=a+b

and

3xy=ab.

Dividing yields

\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.

But

x\lt a

and

y\lt a

make the left side greater than

\frac{2}{a},

while

a\lt b

makes the right side less than

\frac{2}{a}.

This is impossible.

Thus, the correct answer is A.

1963 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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