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1964 AMC 12 第 34 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

34.

若

n

是

4

的倍数，则和式

\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n \end{aligned}\text{，}

其中

i=\sqrt{-1}

，其值为：

If

n

is a multiple of

4,

the sum

\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}

where

i=\sqrt{-1},

equals:

1+i

\dfrac12(n+2)

\dfrac12(n+2-ni)

\dfrac12\left[(n+1)(1-i)+2\right]

\dfrac18(n^2+8-4ni)

答案：C

知识点：复数单位根求和

难度评级：1870

小提示：

按

i

的每四个连续幂将各项分组

Group the terms in blocks of four powers of

i

大提示：

每个以系数

4j+1

开始的完整组之和为

-2-2i

Each complete block beginning with coefficient

4j+1

sums to

-2-2i

解答：

写成

n=4m

。对

j=0,\ldots,m-1

，指数从

4j

到

4j+3

的四项之和为

\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i \end{aligned}\text{。}

最后一项为

4m+1

。因此

\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Write

n=4m.

For

j=0,\ldots,m-1,

the four terms with exponents

4j

through

4j+3

sum to

\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}

The final term is

4m+1.

Therefore

\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.