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1965 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

设直线

AC

垂直于直线

CE

。连接

A

与

CE

的中点

D

，并连接

E

与

AC

的中点

B

。若

AD

与

EB

相交于点

F

，且

BC=CD=15

英寸，则三角形

DFE

的面积（平方英寸）为：

Let line

AC

be perpendicular to line

CE.

Connect

A

to the midpoint

D

of

CE,

and connect

E

to the midpoint

B

of

AC.

If

AD

and

EB

intersect in point

F,

and

BC=CD=15

inches, then the area of triangle

DFE,

in square inches, is:

50

50\sqrt2

75

\dfrac{15}{2}\sqrt{105}

100

答案：C

知识点：中线（几何）重心坐标几何三角形面积

难度评级：1830

小提示：

因为

B,D

是中点且

BC=CD=15

，所以两条直角边的长度均为

30

Since

B,D

are midpoints and

BC=CD=15,

both perpendicular legs have length

30

大提示：

取坐标

C=(0,0), A=(0,30)

和

E=(30,0)

；两条中线交于重心

Use coordinates

C=(0,0), A=(0,30)

and

E=(30,0)

; the two medians meet at the centroid

解答：

取

C=(0,0),\ A=(0,30)

和

E=(30,0)

。则

B=(0,15)

，且

D=(15,0)

。直线

AD

和

EB

是三角形

ACE

的中线，所以它们交于重心

F=(10,10)

。线段

DE

长为

15

，点

F

到其所在直线的距离为

10

。因此

[DFE]=\frac12(15)(10)=75\text{。}

因此，正确答案是 C。

Put

C=(0,0),\ A=(0,30),

and

E=(30,0).

Then

B=(0,15)

and

D=(15,0).

Lines

AD

and

EB

are medians of triangle

ACE,

so they meet at the centroid

F=(10,10).

Segment

DE

has length

15

and

F

is

10

units above its line. Therefore

[DFE]=\frac12(15)(10)=75.

Thus, the correct answer is C.

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