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1965 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1965 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1965 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Sea la recta

AC

perpendicular a la recta

CE.

Une

A

con el punto medio

D

de

CE,

y une

E

con el punto medio

B

de

AC.

Si

AD

y

EB

se cortan en el punto

F,

y

BC=CD=15

pulgadas, entonces el área del triángulo

DFE,

en pulgadas cuadradas, es:

Let line

AC

be perpendicular to line

CE.

Connect

A

to the midpoint

D

of

CE,

and connect

E

to the midpoint

B

of

AC.

If

AD

and

EB

intersect in point

F,

and

BC=CD=15

inches, then the area of triangle

DFE,

in square inches, is:

50

50\sqrt2

75

\dfrac{15}{2}\sqrt{105}

100

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)baricentro geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Como

B,D

son puntos medios y

BC=CD=15,

ambos catetos perpendiculares miden

30

Since

B,D

are midpoints and

BC=CD=15,

both perpendicular legs have length

30

Pista grande:

Usa las coordenadas

C=(0,0), A=(0,30)

y

E=(30,0)

; las dos medianas se cortan en el baricentro

Use coordinates

C=(0,0), A=(0,30)

and

E=(30,0)

; the two medians meet at the centroid

Solución:

Toma

C=(0,0),\ A=(0,30),

y

E=(30,0).

Entonces

B=(0,15)

y

D=(15,0).

Las rectas

AD

y

EB

son medianas del triángulo

ACE,

así que se cortan en el baricentro

F=(10,10).

El segmento

DE

mide

15

y

F

está

10

unidades por encima de su recta. Por tanto,

[DFE]=\frac12(15)(10)=75.

Así, la respuesta correcta es C.

Put

C=(0,0),\ A=(0,30),

and

E=(30,0).

Then

B=(0,15)

and

D=(15,0).

Lines

AD

and

EB

are medians of triangle

ACE,

so they meet at the centroid

F=(10,10).

Segment

DE

has length

15

and

F

is

10

units above its line. Therefore

[DFE]=\frac12(15)(10)=75.

Thus, the correct answer is C.

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