1969 AMC 12 第 28 题

Question

在半径为

1

的圆内部，设满足下列条件的点

P

的个数为

n

：

P

到某一直径两个端点的距离平方和为

3

。则

n

为：

Let

n

be the number of points

P

interior to the region bounded by a circle with radius

1,

such that the sum of the squares of the distances from

P

to the endpoints of a given diameter is

3.

Then

n

is:

0

1

2

4

无穷多个

infinite

答案：E

知识点：坐标几何距离公式圆

难度评级：1720

小提示：

将圆心置于原点，并取直径端点为

(-1,0)

和

(1,0)

Place the circle at the origin with diameter endpoints

(-1,0)

and

(1,0)

大提示：

化简两个距离的平方和

Simplify the sum of the two squared distances

解答：

令

P=(x,y)

，并取直径端点为

(-1,0)

和

(1,0)

。条件化为

\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3 \end{aligned}\text{。}

因此

x^2+y^2=\frac{1}{2}

。这是一整个位于给定单位圆内部、半径为

\frac{1}{\sqrt2}

的圆，包含无穷多个点。

所以正确答案是 E。

Let

P=(x,y)

and take the diameter endpoints as

(-1,0)

and

(1,0).

The condition becomes

\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}

Thus

x^2+y^2=\frac{1}{2}.

This is an entire circle of radius

\frac{1}{\sqrt2},

lying inside the given unit circle. It contains infinitely many points.

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

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