1973 AMC 12 Problema 32

Question

El volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado

6

y cuyas demás aristas miden

\sqrt{15}

es

The volume of a pyramid whose base is an equilateral triangle of side length

6

and whose other edges are each of length

\sqrt{15}

is

9

\dfrac92

\dfrac{27}{2}

\dfrac{9\sqrt3}{2}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:pirámide triángulo equilátero volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La altura desde el vértice corta la base en el circuncentro del triángulo equilátero

The altitude from the apex meets the base at the equilateral triangle’s circumcenter

Pista grande:

Usa el circunradio de la base

2\sqrt3

y una arista lateral

\sqrt{15}

para hallar la altura

Use the base circumradius

2\sqrt3

and a lateral edge

\sqrt{15}

to find the height

Solución:

El área de la base es

\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.

Como el vértice está a la misma distancia de los tres vértices de la base, su proyección perpendicular es el circuncentro de la base. El circunradio de la base equilátera es

\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.

Si

h

es la altura de la pirámide, entonces

h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,

así que

h=\sqrt3.

El volumen es

\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The base area is

\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.

Because the apex is equally distant from all three base vertices, its perpendicular projection is the base circumcenter. The circumradius of the equilateral base is

\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.

If

h

is the pyramid’s height, then

h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,

so

h=\sqrt3.

The volume is

\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.

Therefore, the correct answer is A.