1979 AMC 12 第 27 题

Question

从所有整数有序对

(b,c)

中等可能地随机选取一对，其中两个整数的绝对值都不超过五。方程

x^2+bx+c=0

没有两个不同的正实根的概率是多少？

An ordered pair

(b,c)

of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation

x^2+bx+c=0

will not have distinct positive real roots?

\frac{106}{121}

\frac{108}{121}

\frac{110}{121}

\frac{112}{121}

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：二次方程对立事件概率系统列举

难度评级：2200

小提示：

有两个不同的正实根要求

b\lt0

、

c\gt0

且

b^2\gt4c

Distinct positive roots require

b\lt0,

c\gt0,

and

b^2\gt4c

大提示：

分别计算

b=-1

、

b=-2

、

\ldots

、

b=-5

时符合条件的

c

的个数，再从

121

对中取补集

Count the qualifying

c

values for each

b=-1,

b=-2,

\ldots,

b=-5,

then take the complement among

121

pairs

解答：

11^2=121

个有序对。要有两个不同的正实根，必须有

b\lt0

、

c\gt0

且

b^2\gt4c

。当

b=-1

和

b=-2

时没有可选值；当

b=-3

、

b=-4

和

b=-5

时，分别有

2

、

3

和

5

个可选的

c

。因此只有

10

个有序对会产生两个不同的正实根，所求概率为

1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}\text{，}

该数不在选项中。

因此，正确答案是 E。

There are

11^2=121

ordered pairs. Distinct positive roots require

b\lt0,

c\gt0,

and

b^2\gt4c.

For

b=-1

and

b=-2

there are no choices; for

b=-3,

b=-4,

and

b=-5

there are respectively

2,

3,

and

5

choices of

c.

Thus only

10

pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is

1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},

which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

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