1979 AMC 12 第 25 题

Question

用

x+\frac12

除多项式

x^8

时，商与余数分别为

q_1(x)

和

r_1

；再用

x+\frac12

除

q_1(x)

时，商与余数分别为

q_2(x)

和

r_2

。那么

r_2

等于

If

q_1(x)

and

r_1

are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial

x^8

is divided by

x+\frac12,

and if

q_2(x)

and

r_2

are the quotient and remainder, respectively, when

q_1(x)

is divided by

x+\frac12,

then

r_2

equals

\frac1{256}

-\frac1{16}

1

-16

256

答案：B

知识点：多项式因式分解换元法

难度评级：2040

小提示：

令

a=-\frac12

，利用

x^8-a^8

表示第一次相除所得的商

Let

a=-\frac12

and express the first quotient using

x^8-a^8

大提示：

在

x=a

处对

q_1(x)

应用余式定理

Apply the remainder theorem to

q_1(x)

at

x=a

解答：

令

a=-\frac{1}{2}

。因为第一次相除的余数为

a^8

，所以

\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7 \end{aligned}\text{。}

因此第二次相除的余数为

\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

Let

a=-\frac{1}{2}.

Since the first remainder is

a^8,

\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}

Therefore the second remainder is

\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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